表5: 幣高桁に於ける試験

表5-1: 対数正規分布に基づいた減30度
表5-2: 1,4組の試験A3
表5-3: 試験A3の結果
表5-4: 1,9組の試験B3
表5-5: 試験B3の結果
表5-6: 乱数100,000個の減30度による1~30への配分
表5-7: 1,2組の試験C3.4
表5-8: 試験C3.2の結果
表5-9: 試験C3.4の結果
表5-10: 試験C3.6の結果
表5-11: 試験C3の結果
表5-12: 1,5組の試験D3
表5-13: 試験D3の結果
表5-14: 試験D3に於ける持幣数1
表5-15: 1,7組の試験E3
表5-16: 試験E3の結果
表5-17: 試験E3に於ける持幣数1
表5-18: 幣高桁に於ける二金8組の成績
表5-19: 幣低桁と幣高桁の予想比率
表5-20: 幣桁に於ける二金8組の成績

表5-1

対数正規分布に基づいた減30度（減少していく30個の度数）

数	計算式	割当
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30	f(0.8)=0.4864 f(1.6)=0.2233 f(2.4)=0.1133 f(3.2)=0.0634 f(4.0)=0.0382 f(4.8)=0.0243 f(5.6)=0.0162 f(6.4)=0.0111 f(7.2)=0.0079 f(8.0)=0.0057 f(8.8)=0.0043 f(9.6)=0.0032 f(10.4)=0.0025 f(11.2)=0.0019 f(12.0)=0.0015 f(12.8)=0.0012 f(13.6)=0.0010 f(14.4)=0.0008 f(15.2)=0.0006 f(16.0)=0.0005 f(16.8)=0.0004 f(17.6)=0.0004 f(18.4)=0.0003 f(19.2)=0.0003 f(20.0)=0.0002 f(20.8)=0.0002 f(21.6)=0.0002 f(22.4)=0.0001 f(23.2)=0.0001 f(24.0)=0.0001	0.4818 0.2212 0.1122 0.0628 0.0378 0.0241 0.0160 0.0110 0.0078 0.0057 0.0042 0.0032 0.0024 0.0019 0.0015 0.0012 0.0010 0.0008 0.0006 0.0005 0.0004 0.0004 0.0003 0.0003 0.0002 0.0002 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001
合計	1.0096	1.0000

¤ f(x)=1/x/√(2πe^(log(x))²). μ=0. σ=1.
¤ 24<xに於けるf(x)の値は、十分に小さいので無視されている。
¤ 数1への割当は、0.4846/1.0096=0.4818となる。
¤ この減30度は、幣高桁に於ける試験で用いられる。幣高桁では、金Nが補充される。

表5-2

1,4組の試験A3: 1円札と4円札を用いて釣りなしでY1~Y30を揃えるときの最小持幣数に基づく合計幣量

金額	持幣数		減30度	幣量
金額	4円	1円	減30度	幣量
Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 Y7 Y8 Y9 Y10 Y11 Y12 ... Y29 Y30	0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 ... 7 7	1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 ... 1 2	0.4818 0.2212 0.1122 0.0628 0.0378 0.0241 0.0160 0.0110 0.0078 0.0057 0.0042 0.0032 ... 0.0001 0.0001	0.4818 0.4424 0.3366 0.0666 0.0779 0.0737 0.0650 0.0233 0.0243 0.0235 0.0215 0.0102 ... 0.0008 0.0009
合計			1.0000	1.7156

¤ 10円札は存在しない。
¤ 幣量は、持幣数4（4円札の持幣数）の1.06倍と持幣数1の合計である。そして、Y1~Y30の各幣量に減30度が掛けられる。例: Y6を揃えるときの幣量は、(1.06+2)*0.0241=0.0737となる。
¤ 減30度を加味した持幣数1の合計は、1*0.4818+2*0.2212+...+2*0.0001=1.4453となる。又、減30度を加味した持幣数4の合計は、0*0.4818+...+7*0.0001=0.2550となる。

表5-3

試験A3の結果: 二金8組の、合計幣量及び超‰

組	合計持幣数		合計幣量	超‰
組	N円	1円	合計幣量	超‰
1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9	0.8994 0.4459 0.2550 0.1590 0.1051 0.0725 0.0517 0.0378	0.6665 1.1276 1.4453 1.6703 1.8347 1.9578 2.0517 2.1251	1.6199 1.6003 1.7156 1.8388 1.9461 2.0347 2.1065 2.1652	12 0 72 149 216 271 316 353

¤ 幣量は、持幣数Nの1.06倍と持幣数1の合計である。

表5-4

1,9組の試験B3: 1円札と9円札を用いて釣りなしでY1~Y30を揃えるときの最小算荷の合計

金額	動幣数		減30度	算荷
金額	9円	1円	減30度	算荷
Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 Y7 Y8 Y9 Y10 Y11 Y12 ... Y29 Y30	0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 ... 3 3	1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 ... 2 3	0.4818 0.2212 0.1122 0.0628 0.0378 0.0241 0.0160 0.0110 0.0078 0.0057 0.0042 0.0032 ... 0.0001 0.0001	0.4818 0.4424 0.3366 0.2512 0.1890 0.1446 0.1120 0.0880 0.0117 0.0143 0.0147 0.0144 ... 0.0007 0.0008
合計			1.0000	2.1818

¤ 10円札は存在しない。
¤ 算荷は、動幣数9（現金取引中に移動する9円札の数）の1.5倍と動幣数1の合計である。そして、Y1~Y30の各算荷に減30度が掛けられる。例: Y11を揃えるときの算荷は、(1.5+2)*0.0042=0.0147となる。
¤ 減30度を加味した動幣数1の合計は、1*0.4818+2*0.2212+...+3*0.0001=2.1251となる。又、減30度を加味した動幣数9の合計は、0*0.4818+...+3*0.0001=0.0378となる。

表5-5

試験B3の結果: 二金8組の、合計算荷及び超‰

組	合計動幣数		合計算荷	超‰
組	N円	1円	合計算荷	超‰
1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9	0.8994 0.4459 0.2550 0.1590 0.1051 0.0725 0.0517 0.0378	0.6665 1.1276 1.4453 1.6703 1.8347 1.9578 2.0517 2.1251	2.0156 1.7965 1.8278 1.9088 1.9924 2.0666 2.1293 2.1818	122 0 17 63 109 150 185 215

¤ 算荷は、動幣数Nの1.5倍と動幣数1の合計である。
¤ 動幣数N及び動幣数1は、それぞれ、試験A3の持幣数N及び持幣数1と等しい（表5-3）。

表5-6

乱数100,000個の減30度による1~30への配分

数	期待値	実際値
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30	48,180 22,120 11,220 6,280 3,780 2,410 1,600 1,100 780 570 420 320 240 190 150 120 100 80 60 50 40 40 30 30 20 20 20 10 10 10	48,066 22,072 11,283 6,333 3,796 2,363 1,689 1,094 776 588 426 285 244 186 147 102 106 69 66 53 45 48 35 36 17 17 23 11 16 8
合計	100,000	100,000

¤ 実際値の平均は、2.472である。

表5-7

1,2組の試験C3.4: 1,2組を用いた試験C3.4進行の説明

持幣数		補幣数	金額	揃え方
2円	1円	補幣数	金額	揃え方
...	...	...	...	...
0	1	-	Y1	1
0	0	3	Y2	2
2	0	-	Y1	2-1
1	1	6	Y10	2+2+2+2+2
2	1	...	...	...

¤ 10円札は存在しない。
¤ 払人（貨幣を支払う人）は、毎回、持幣数を最小にする。
¤ 補幣数は、「次回取引での不足金額にY4を加えた金額」に達する、2円札の最小枚数である。例: 表中、手元に2円札0枚と1円札0枚がある状態でY2を揃える場合、払人は2円札を3枚補充する。この補幣数は、 (2-0+4)/2=3となっている。又、手元に2円札1枚と1円札1枚がある状態でY10を揃える場合、補幣数は6であるが、これは、(10-3+4)/2=5.5を繰り上げた数である。
¤ 他の二金組についても、同様に金Nを補充する。
¤ 試験C3.2では、追加金額がY2である。又、試験C3.6では、余裕分がY6である。

表5-8

試験C3.2の結果: 二金8組の平均幣量

組	平均補幣額	最大持幣数		平均持幣数		平均幣量
組	平均補幣額	N円	1円	N円	1円	平均幣量
1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9	Y4.143 Y5.222 Y5.801 Y6.483 Y7.214 Y8.018 Y8.834 Y9.739	16 11 8 7 6 5 4 4	1 2 3 4 5 6 7 8	1.827 1.091 0.749 0.566 0.454 0.379 0.325 0.285	0.500 0.996 1.505 1.997 2.501 3.001 3.509 3.988	2.437 2.153 2.299 2.597 2.982 3.403 3.853 4.290

¤ 幣量は、持幣数Nの1.06倍と持幣数1の合計である。
¤ 平均の補幣額（補充する紙幣の金額）は、補充頻度に反比例する。

表5-9

試験C3.4の結果: 二金8組の平均幣量

組	平均補幣額	最大持幣数		平均持幣数		平均幣量
組	平均補幣額	N円	1円	N円	1円	平均幣量
1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9	Y5.877 Y6.458 Y7.771 Y8.211 Y8.493 Y8.973 Y9.529 Y10.276	17 12 9 7 6 5 5 4	1 2 3 4 5 6 7 8	2.384 1.473 1.155 0.799 0.587 0.458 0.375 0.317	0.500 0.996 1.505 1.997 2.501 3.001 3.509 3.988	3.027 2.558 2.729 2.844 3.124 3.487 3.906 4.324

¤ 幣量は、持幣数Nの1.06倍と持幣数1の合計である。
¤ 最大持幣数1と平均持幣数1は、試験C3.2と同じである（表5-8）。

表5-10

試験C3.6の結果: 二金8組の平均幣量

組	平均補幣額	最大持幣数		平均持幣数		平均幣量
組	平均補幣額	N円	1円	N円	1円	平均幣量
1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9	Y7.721 Y8.680 Y8.807 Y10.071 Y11.728 Y11.347 Y11.150 Y11.441	18 12 9 8 6 6 5 4	1 2 3 4 5 6 7 8	2.924 1.915 1.290 1.051 0.931 0.673 0.504 0.399	0.500 0.996 1.505 1.997 2.501 3.001 3.509 3.988	3.600 3.026 2.872 3.111 3.488 3.715 4.044 4.411

¤ 幣量は、持幣数Nの1.06倍と持幣数1の合計である。
¤ 最大持幣数1と平均持幣数1は、試験C3.2と同じである（表5-8）。

表5-11

試験C3の結果: 二金8組の、平均幣量及び超‰

組	幣量			平均幣量	超‰
組	試験 C3.2	試験 C3.4	試験 C3.6	平均幣量	超‰
1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9	2.437 2.153 2.299 2.597 2.982 3.403 3.853 4.290	3.027 2.558 2.729 2.844 3.124 3.487 3.906 4.324	3.600 3.026 2.872 3.111 3.488 3.715 4.044 4.411	3.021 2.579 2.633 2.851 3.198 3.535 3.934 4.342	171 0 21 105 240 371 526 684

¤ 幣量は、表5-8、5-9、5-10に由来している。
¤ 1,2組の平均幣量は、(2.437+3.027+3.600)/3=3.021となる。

表5-12

1,5組の試験D3: 1,5組を用いた試験D3進行の説明

金額	持幣数 1円	揃え方	算荷
...	...	...	...
Y7	2	5+1+1 (5+5-1-1-1)	3.5 6
Y1	0	5-1-1-1-1	5.5
Y15	4	5+5+5	4.5
Y4	4	5-1 (1+1+1+1)	2.5 4
...	5	...	...

¤ 10円札は存在しない。
¤ 払人は、金額を支払うのに十分な5円札を所持している。
¤ 払人は、毎回、持幣数1に応じて、最小の算荷を選択する。
¤ 算荷は、動幣数5の1.5倍と動幣数1の合計である。

表5-13

試験D3の結果: 二金8組の、平均算荷及び超‰

組	平均動幣数		平均算荷	超‰
組	N円	1円	平均算荷	超‰
1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9	1.236 0.824 0.618 0.494 0.412 0.353 0.309 0.275	0.667 1.134 1.396 1.749 1.934 2.207 2.350 2.570	2.522 2.370 2.324 2.490 2.552 2.737 2.813 2.982	85 20 0 72 98 178 211 283

¤ 算荷は、動幣数Nの1.5倍と動幣数1の合計である。

表5-14

試験D3に於ける持幣数1

組	持幣数1
組	最大	平均
1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9	1 2 7 8 13 12 18 16	0.500 0.996 1.701 2.082 2.800 3.142 3.855 4.184

¤ 幾つかの持幣数は、時折10を超える。

表5-15

1,7組の試験E3: 1,7組を用いた試験E3進行の説明

持幣数 1円	金額	揃え方	釣算荷 1円	算荷
...	...	...	...	...
4	Y4	1+1+1+1 (7-1-1-1)	-	4 4.5
0	Y1	7-1-1-1-1-1-1	-	7.5
6	Y21	7+7+7	0	4.5
6	Y5	1+1+1+1+1 (7-1-1)	0 2	5 3.5
1	...	...	...	...

¤ 10円札は存在しない。
¤ 払人は、毎回、持幣数1に応じて、最小の算荷を選択する。もし持幣数1が5を超えたときは、払人は最小の算荷を選択する前に、最小の釣算荷1（1円札の釣算荷）を選択する。釣算荷1は、釣1円札の数に等しい。

表5-16

試験E3の結果: 二金8組の、平均算荷及び超‰

組	平均動幣数		平均算荷	超‰
組	N円	1円	平均算荷	超‰
1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9	1.236 0.824 0.618 0.494 0.412 0.353 0.309 0.275	0.667 1.134 1.397 1.749 1.955 2.268 2.487 2.691	2.522 2.370 2.324 2.491 2.573 2.798 2.951 3.103	85 20 0 72 107 204 270 335

¤ 各組の平均算荷は、試験D3の算荷よりも若干大きくなっている（表5-13）。

表5-17

試験E3に於ける持幣数1

組	持幣数1
組	最大	平均
1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9	1 2 6 6 7 7 8 8	0.500 0.996 1.700 2.081 2.724 3.044 3.551 3.988

¤ 全ての持幣数1は、適切に制御されている。

表5-18

幣高桁に於ける二金8組の成績

組	試験の超‰				合計超‰
組	A3 0.05	B3 0.05	C3 0.45	E3 0.45	合計超‰
1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9	12 0 72 149 216 271 316 353	122 0 17 63 109 150 185 215	171 0 21 105 240 371 526 684	85 20 0 72 107 204 270 335	122 9 14 90 173 280 383 487

¤ 試験A3、B3、C3、及びE3の超‰は、5:5:45:45の比率で合算され、合計超‰となる。例: 1,2組の超‰は、0.05*12+0.05*122+0.45*171+0.45*85=122となる。

表5-19

幣低桁と幣高桁の予想比率

紙幣の金種	通貨	補充	期待値
紙幣の金種	通貨	補充	幣低桁	幣高桁
1, N	£	N	0	1*1
1, N	£	1	0	0
1, N, 10	A$, ¥, C$, MX$	10	1*4	0
1, N, 10	A$, ¥, C$, MX$	N	0	1*4
1, N, 10, 10N	W, L, €	10N	1*3	1*3
1, N, 10, 10N	W, L, €	10	1*3	0
1, N, 10, 10N, 100	Rp, Rs, CN¥, $, R$	100	2*5	0
1, N, 10, 10N, 100	Rp, Rs, CN¥, $, R$	10N	1*5	1*5
1, N, 10, 10N, 100, 100N	P	100N	2*1	1*1
1, N, 10, 10N, 100, 100N	P	100	2*1	0
合計			29	14

¤ 通貨と、紙幣の金種は、紙幣の測定に由来している。
¤ 三金組の金N₁と金N₂は、区別されていない。
¤ 紙幣で最小の金1は、表中で「1」と表記されている。
¤ 幾つかの通貨にある最小の0.1Nの金種は、分類に際して無視されている。
¤ 実際に関わらず、最大金種と2番目に大きい金種が、それぞれ半々の確率で補充されると想定されている。
¤ 幣低桁（幣高桁）の期待値は、幣低桁（幣高桁）の数と通貨数との積である。例: Rp（ルピア）のように、1から100まで5つの金種がある通貨に於いて、最大金種の100が補充される場合、1の桁と10の桁が幣低桁になる。この幣低桁の期待値は、2（桁数）と5（通貨数）の積で10となる。

表5-20

幣桁に於ける二金8組の成績

組	超‰		合計超‰
組	幣低桁 29	幣高桁 14	合計超‰
1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9	184 18 2 118 99 35 147 360	122 9 14 90 173 280 383 487	164 15 6 109 123 114 224 401

¤ 幣低桁と幣高桁の超‰は、それぞれ表4-15と表5-18に由来している。
¤ 幣低桁と幣高桁の超‰は、29:14の比率で合成されて合計超‰になる。例: 1,2組の超‰は、(184*29+122*14)/43=164となる。

1¤4

ある通貨に於ける効率的な金種構成
表1: 硬貨の測定
表2: 貨桁に於ける試験
表3: 紙幣の測定
表4: 幣低桁に於ける試験
表5: 幣高桁に於ける試験
表6: 三金組の試験