「7で割ると3余り、9で割ると4余り、16で割ると2余る自然数」の中で最小のものを求めよ。
与えられた条件を満たすような整数を調べる方法
求める自然数をNとする。
まず、7で割ると3余る自然数は、3, 10, 17, 24, 31, ...
次に、9で割ると4余る自然数は、4, 13, 22, 31, ...
よって、「7で割ると3余り、9で割ると4余る自然数」は最小のものが31である。
以降は、31に「7の倍数で且つ9の倍数」即ち63の倍数を加えた数になる。
すると、Nは、p=0, 1, 2, ...として、
N=63p+31 .....[1]と表される。
Nは、16で割ると2余るので、偶数である。
よって、[1]よりpは奇数である。
[1]でp=1, 3, 5, ...としてNを16で割った余りを調べていく。
p=1のとき、N=94=16*5+14.
p=3のとき、N=220=16*13+12.
p=5のとき、N=346=16*21+10.
... そして、
p=13のとき、N=850=16*53+2.
従って、N=850.
与えられた条件を式にする方法
求める自然数をNとすると、a, b, cを整数として、
N=7a+3 .....[1].
N=9b+4 .....[2].
N=16c+2 .....[3].
と表される。
[1], [2]より、
7a+3=9b+4.
7(a-b+1)=2(b+4).
7, 2は互いに素であり、a-b+1, b+4は整数だから、
b+4=7d .....[4]（dは整数）と表せる。
[2], [4]より、
N=9(7d-4)+4=63d-32 .....[5].
[3], [5]より、
16c+2=63d-32.
d+2=16(4d-c-2).
d+2, 4d-c-2は整数だから、
d+2=16e .....[6]（eは整数）と表せる。
[5], [6]より、
N=63(16e-2)-32=1008e-158.
これが最小になるのは、e=1のときで
N=1008-158=850.