整数問題5

111111111111は7個の素数の積である。そのように表せ。

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解答1

与えられた数を二つの方法で因数分解

A=111111111111とおく。
A=111111*1000001
   =111*1001*1000001
   =3*37*7*11*13*1000001 .....[1].
又、
A=1111*100010001
   =11*101*100010001 .....[2].
Aは7個の素数の積なので、[1], [2]より、
A=3*7*11*13*37*101*p （pは素数）と表される。
p=1000001/101=9901.
よって、111111111111=3*7*11*13*37*101*9901.

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解答2

与えられた数を9倍してから素因数分解

A=111111111111とおく。
  9A
=999999999999
=10¹²-1
=(10⁶-1)(10⁶+1)
=(10³-1)(10³+1)(10²+1)(10⁴-10²+1)
=(10-1)(10²+10+1)(10+1)(10²-10+1)(10²+1)(10⁴-10²+1)
=9*111*11*91*101*9901.
A=3*37*11*7*13*101*9901.
Aは7個の整数の積として表されたので、9901も素数である。
よって、111111111111=3*7*11*13*37*101*9901.

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数学の問題

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© 2006 島崎 崇
更新: 2013年4月14日